CONTOH SOAL DIFERENSIAL PARSIAL

1) Untuk fungsi y = 3x² - 5z² + 2x²z – 4xz² - 9 tentukanlah derivatif parsialnya !

Jawab :

∂ y = 6x + 4xz – 4z²

∂ x

∂ y = -10z + 2x² – 8xz

∂ z

2) Untuk fungsi y = 3x² - 5z² + 2x²z – 4xz² - 9 tentukanlah diferensial parsialnya !

Jawab :

∂ y dx = 6 + 4z

∂ x

∂ y dz = 4x – 8z

∂ x

∂ y dx = 4x – 8z

∂ z

∂ y dz = -10 – 8x

∂ z

3) Untuk fungsi y = 3x² - 5z² + 2x²z – 4xz² - 9 tentukanlah diferensial totalnya !

Jawab :

dy = ∂ y dx + ∂ y dz

∂ x ∂ z

= (6 + 4z) + (-10 – 8x)

= -8x + 4z - 4

4) Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Q_da . P_a² . P_b⁴ – 1 = 0 dan Q_db . P_a . P_b² – 1 = 0 , berapa elastisitas permintaan masing-masing barang ?

Jawab :

Q_da . P_a² . P_b⁴ – 1 = 0 Q_db . P_a . P_b² – 1 = 0

Q_da = 1 Q_db = 1

P_a² . P_b⁴ P_a . P_b²

Q_da = P_a^-2 . P_b^-4 Q_db = P_a^-1 . P_b^-2

∂ Q_da = -2P_a^-3 . P_b^-4 ∂ Q_db = -2P_a^-1 . P_b^-3

∂ P_a ∂ P_b

∂ Q_da = -4P_a^-2 . P_b^-5 ∂ Q_db = -1P_a^-2 . P_b^-2

∂ P_b ∂ P_a

Elastisitas permintaaan

η_da = ∂ Q_da x P_a = -2P_a^-3 . P_b^-4 x P_a = -2

∂ P_a Q_da P_a^-2 . P_b^-4

η_db = ∂ Q_db x P_b = -2P_a^-1 . P_b^-3 x P_b = -2

∂ P_b Q_db P_a^-1 . P_b^-2

Barang A dan B adalah barang Inelastis

5) Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Q_da . P_a² . P_b⁴ – 1 = 0 dan Q_db . P_a . P_b² – 1 = 0 , bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?

Jawab :

Elastisitas silang permintaan

η_ab = ∂ Q_da x P_b = -4P_a^-2 . P_b^-5 x P_b = -4

∂ P_b Q_da P_a^-2 . P_b^-4

η_ba = ∂ Q_db x P_a = -1P_a^-2 . P_b^-2 x P_a = -1

∂ P_b Q_da P_a^-1 . P_b^-2

Hubungan antara barang A dan B adalah bersifat komplementer

6) Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B ditunjukkan oleh C = 2Q_a² + Q_b² + Q_a . Q_b. Harga jual masing-masing barang perunit adalah P_a = 6 sedangkan P_b = 20. Hitunglah berapa unit masing – masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut?

Jawab :

R_a = Q_a . P_a = 6 Q_a R = R_a + R_b = 6 Q_a + 20 Q_b

R_b = Q_b . P_b = 20 Q_b

π = R – C = 6 Q_a + 20 Q_b - 2Q_a² - Q_b² - Q_a . Q_b

Agar π maksimum, π’ = 0

(1) ∂ π = 0 6 – 4Q_a – Q_b = 0

∂ Q_a

(2) ∂ π = 0 20 – 2Q_b – Q_a = 0

∂ Q_b

Dari (1) dan (2) diperoleh Q_a = -1,25 dan Q_b = 11

π maksimum = 7 Q_a + 20 Q_b - Q_a² - 3Q_b² - Q_a . Q_b

= 6 (-1,25) + 20 (11) – 2(-1,25)² – (11)² – (-1,25)(11) = 102,125

7) Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = x⁴y². Jumlah pendapatan konsumen Rp 1.000, harga X dan harga Y per unit masing-masing Rp 30 dan Rp 60. Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang?

Jawab :

U = x²y²

MUx = Ux = ∂ U = 4x³y²

∂ x

MUy = Uy = ∂ U = 2x⁴y

∂ y

8) Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = x⁴y². Jumlah pendapatan konsumen Rp 1.000, harga X dan harga Y per unit masing-masing Rp 30 dan Rp 60. berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 10 unit X dan 15 unit Y?

Jawab :

MUx = 4x³y² = 4(10)³ (15)² = 900.000

MUy = 2x⁴y = 2(10)⁴ (15) = 300.000

9) Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = x⁴y². Jumlah pendapatan konsumen Rp 1.000, harga X dan harga Y per unit masing-masing Rp 30 dan Rp 60. jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 10 unit X dan 15 unit Y kepuasan konsumen optimum atau tidak ?

Jawab :

MUx = 900.000 = 30.000

Px 30

MUy = 300.000 = 5.000 MUx ≠ MUy

Py 60 Py Py

Berarti kombinasi konsumsi 10 unit X dan 15 unit Y tidak memberikan kepuasan optimum, tidak terjadi keseimbangan konsumsi.

10) Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X² Y³. Bentuklah fungsi produksi marjinal utnuk masing-masing factor produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 6 unit X dan 12 unit Y ?

Jawab :

P = 2X² Y³

MP_x = P_x = ∂ P = 4X Y³

∂ x

MP_y = P_y = ∂ P = 6X²Y²

∂ y

Jika X = 6 dan Y = 12

MP_x = 4X Y³ = 4(6) (12)³ = 41.472

MP_y = 6X²Y² = 6(6)²(12)² = 2.592